已知x> 0 y> 0 x+2y+xy=6,求x+2y的取值范围.
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利用基本不等式,得：
x+2y≥2√(x×2y)=2√2×√(xy)
所以
6=x＋2y＋xy≥2√2×√(xy)+xy
即：xy+2√2×√(xy)-6≤0,
为方便起见,令k=√(xy),显然k≥0,则上式变形为：
k^2+(2√2)k-6≤0
解这个不等式,得：
0≤k≤√2
所以
xy=k²≤(√2)²=4
其中等号当且仅当x=2y即x=2√2、y=√2时成立.
故xy的最大值为4
x+2y=6-xy≥6-4=2
x+2y≥2
x+2y≥2√(x×2y)=2√2×√(xy)
所以
6=x＋2y＋xy≥2√2×√(xy)+xy
即：xy+2√2×√(xy)-6≤0,
为方便起见,令k=√(xy),显然k≥0,则上式变形为：
k^2+(2√2)k-6≤0
解这个不等式,得：
0≤k≤√2
所以
xy=k²≤(√2)²=4
其中等号当且仅当x=2y即x=2√2、y=√2时成立.
故xy的最大值为4
x+2y=6-xy≥6-4=2
x+2y≥2
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