Question

一函数处处可导,此函数一定存在导函数吗?

Answer 1

存在。

导函数存在的意思仅限于左导数存在，右导数存在，而不能说它二者相等。连续可导的函数，既然可导，说明定义域内，连续的要求比存在的要求高导数存在，但得不到导函数连续考虑函数f（x）=x^2*sin（1/x），x>00，x=0显然f（x）在x不为0时可导且连续。

f（x）在x=0处连续左导数f'（0-）=0，右导数f'（0+）=lim（x->0+）［f（x）-f（0）］/x=limf（x）/x=0，所以f（x）在x=0处导数存在但是x>0时，f'（x）=2x*sin（1/x）-cos（1/x），在x->0+时没有极限，所以导函数在x=0处不连续。

定义

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)，如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。