Question

函数在一点处导数存在则在该点处一定可导吗

Answer 1

根据导数定义可知，导数是一个极限，导数存在说明左极限右极限都存在，因为极限是唯一的，那么左极限等于右极限，所以在该点必定可导。

从左边趋近于0时：

1/x趋近于负无穷，2^1/x趋近0那么分母趋近于1分子1+x趋近于1

所以从左边趋近于0,f(x)趋近于1

从右趋近0：

1/x趋近正无穷，2^1/x趋近正无穷那么分母趋近正无穷，分子趋近于1

故，从右边趋近0时候，f(x)趋近于0

由于左右极限不一致那么x=0点处的极限不存在

连极限都不存在而且在0点处都无定义更不要谈导数了，当然不存在x=0处的导数

函数可导与连续的关系

定理：若函数f(x)在处可导，则必在点处连续。

上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

Answer 2

从左边趋近于0时：
1/x趋近于负无穷,2^1/x趋近0 那么分母趋近于1 分子1+x趋近于1
所以从左边趋近于0,f(x)趋近于1
从右趋近0：
1/x趋近正无穷,2^1/x趋近正无穷 那么分母趋近正无穷,分子趋近于1
故,从右边趋近0时候,f(x)趋近于0
由于左右极限不一致 那么x=0点处的极限不存在
连极限都不存在 而且在0点处都无定义 更不要谈导数了,当然不存在x=0处的导数

Answer 3

Answer 4

根据导数定义可知，导数是一个极限，导数存在说明左极限右极限都存在，因为极限是唯一的，那么左极限等于右极限，所以在该点必定可导