Question

这道微积分题怎么做？

如题，请 直接计算 或者 用 换元法 来做，麻烦写出详细步骤和解题技巧，谢谢！

Answer 1

见下图：

追问

你好！我想问一下第一步是怎么变成第二步的？为什么 dx^2 会变成 de^(x^2) ？？

追答

Answer 2

∫(0->1) xe^(x^2) cos(e^(x^2)) dx
=(1/2)∫(0->1) cos(e^(x^2)) de^(x^2)
=(1/2)[cos(e^(x^2)).e^(x^2)]|(0->1) +∫(0->1) x.sin(e^(x^2)) e^(x^2) dx
=(1/2)[ecos(e)-cos1] +(1/2)∫(0->1) sin(e^(x^2)) de^(x^2)
=(1/2)[ecos(e)-cos1] +(1/2)[sin(e^(x^2)).e^(x^2)]|(0->1)
-∫(0->1) xcos(e^(x^2)) e^(x^2) dx
=(1/2)[ecos(e)-cos1] +(1/2)[esin(e)-sin1]-∫(0->1) xcos(e^(x^2)) e^(x^2) dx
2∫(0->1) xe^(x^2) cos(e^(x^2)) dx =(1/2)[ecos(e)-cos1] +(1/2)[esin(e)-sin1]
∫(0->1) xe^(x^2) cos(e^(x^2)) dx =(1/4)[ecos(e)-cos1] +(1/4)[esin(e)-sin1]

Answer 3

Answer 4

这个直接用凑微分就好啦，因为deˣ²=2xeˣ²dx，所以原积分=(1/2)sineˣ²|(0,1)=(sine-sin1)/2

追问

你好，可以详细说一下怎么做吗？我好懵逼啊............ T_T

追答

你好，凑微分其实就是应用∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(g(x))dg(x)这个公式

这一题里面g′(x)是2xeˣ²，需要构造一个2出来，这个是简单的