用极限定义证明数列极限？
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证明：（1）对于任意的ε>0，解不等式
│0.99..9-1│=│(1-1/10^n)-1│=│-1/10^n│=1/10^n<ε
得n>lg(1/ε)，取N≥[lg(1/ε)]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数NN≥[lg(1/ε)]。当n>N时，有│0.99..9-1│<ε。
即lim(n->∞)(0.99....9n个9)=1；
（2）对于任意的ε>0，解不等式
│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│=│-arctan(1/n)│=arctan(1/n)<ε
得n>cotε，取N≥[cotε]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数N≥[cotε]。当n>N时，有│arctann-π/2│<ε。
即lim(n->∞)(arctann)=π/2。
│0.99..9-1│=│(1-1/10^n)-1│=│-1/10^n│=1/10^n<ε
得n>lg(1/ε)，取N≥[lg(1/ε)]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数NN≥[lg(1/ε)]。当n>N时，有│0.99..9-1│<ε。
即lim(n->∞)(0.99....9n个9)=1；
（2）对于任意的ε>0，解不等式
│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│=│-arctan(1/n)│=arctan(1/n)<ε
得n>cotε，取N≥[cotε]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数N≥[cotε]。当n>N时，有│arctann-π/2│<ε。
即lim(n->∞)(arctann)=π/2。
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