Question

求解一道不等式最值题

题目见图，感谢！

Answer 1

(1)n=2时原式=a1a2(a1+a2)=a1a2≤[(a1+a2)/2]^2=1/4,
当a1=a2=1/2时取等号，
所以它的最大值是1/4，显然，a1=1,a2=0时它取最小值0.
(2)n=3时(a1+a2+a3)(a1a2+a1a3+a2a3)
=a1a2(a1+a2)+a1a3(a1+a3)+a2a3(a2+a3)+3a1a2a3
a3=1-a1-a2,
原式=a1a2(a1+a2)+a1a3(a1+a3)+a2a3(a2+a3)
=a1a2+a1a3+a2a3-3a1a2a3
=a1a2+(a1+a2)(1-a1-a2)-3a1a2(1-a1-a2)
=(3a1-1)a2^2+(3a1^2-4a1+1)a2-a1^2+a1,记为y.
a1=1/3时y=2/9;
a1<1/3时y最大值=[4(3a1-1)(-a1^2+a1)-(3a1^2-4a1+1)^2]/[4(3a1-1)]
=(1-a1)(3a1^2+1)/4,
y'=(-9/4)(a1-1/3)^2<0,y是a1的减函数，a1=0时y=1/4.此时a2=a3=1/2.
所以原式的最大值是1/4，最小值是0.
依此类推，对n≥2都有原式的最大值是1/4(可使a1=a2=1/2,其他变量皆为0)，最小值是0(a1=1,.其他变量皆为0).严格证明需用到数学归纳法，因上下标不好打，故从略