Question

基础解系所含解向量的个数?

Answer 1

齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为n-r个。

对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束。

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

对于齐次线性方程组，我们知道至少有一个解（就是当所有未知数取0的n维零向量（0，0，．．．0）），称之为平凡解；那么求齐次线性方程组实际上是来求非平凡解的过程；当然，齐次线性方程组一定有解。

其实有一个结论，就是对齐次线性方程组而言，当未知数的个数n大于方程组的个数m时，方程组的解一定有非平凡解，并且一定有无穷多个。当然，这无穷多个是一条直线，一个平面还是一个超平面，那不一定，未知数表达了自由维数的概念，而方程则是一种限制。