Question

高中数学函数的对称性和周期性问题

例如这题怎么做
已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，那么f(x+3)的奇偶性为（ ）
答案是奇。 请高手重点解释一下为什么f(x)的图像关于点(1,0)以及点 （-1，0）对称。谢谢

Answer 1

f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1)，
即f(1+x)+f(1-x)=0
该式子说明：位于1左右的两处的1-x、1+x的函数值是一对相反数，
由x的任意性知f(x)的图像关于点(1,0)对称。

Answer 2

函数f(x+1)是奇函数，令t=x+1-1
则f<t>由f(x+1)向右平移1，（-1，0）变为f<t>的对称点。另一个一样。

Answer 3

f(x+1)奇，f(x+1)=-f(-x+1)=-f(-(x+1)+2)即f(x)=-f(-x+2)对任一点
（x,f(x)），都有x+(-x+2)/2=1,即1是横坐标的中点，f(x)+f(-x+2)/2=-f(-x+2)+f(-x+2)/2=0，即0是纵坐标的中点。因此函数图像关于(1,0)对称。另一个类推