Question

∫(f(x)^2)dx，即f(x)^2的原函数是什么？

结果可以用 f ( x )的各阶导数和 f ( x )各阶的原函数表示

Answer 1

条件给的不是很清楚：

追问

是将f(x)^2的原函数用f(x)的各阶导数和f(x)各阶的原函数表示出来

追答

Answer 2

这里当然就是使用分部积分法
那么得到∫(f(x)^2)dx
=x *(f(x)^2) -∫x d(f(x)^2)
=x *(f(x)^2) -∫x *2f(x) *f'(x)dx
显然只有在知道f(x)是什么的情况下
才能得到f(x)^2的原函数
不然只有这样一个式子

Answer 3

有不定积分定义可知，∫f(x^2)dx=f(x^2)的原函数+c，则∫f(x^2)dx的导数=d （∫f(x^2)dx）= d （f(x^2)的原函数+c），设f(x)=∫f(x^2)dx + c
则 d （∫f(x^2)dx）= d （f(x)=∫f(x^2)dx + c）=d （ ∫f(x^2)dx ）= f(x^2) dx

追问

是f(x)^2，不是f(x^2)哦

Answer 4

也就是求f（x）平方的积分，可得原函数为1/3f（x）的3次方/f（x）的一阶导数+C

追问

不对吧，f(x)^3/(3f'(x))的导数是f(x)^2 - (f(x)^3 f''(x))/(3 f'(x)^2)吧

Answer 5

我是这样考虑的，供参考，f（x）^2的原函数我们一开始会想到1/3f（x）^3＋c但是这个你求导验证一下就会发现是错误的。1/3f（x）^3＋c的导数是f'（x）f（x）^2，那么我们可以反过来想，那么是不是∫（f（x）^2）dx＝（1/3f（x）^3）/f'（x）＋c

追问

不对吧，f(x)^3/(3f'(x))的导数是f(x)^2 - (f(x)^3 f''(x))/(3 f'(x)^2)吧

追答

如果可以把f'（x）看成一个数的话可以，你说的也对。这道题f（x）函数定积分原函数你不知道啊，这如何求解。

追问

原题就是求这个抽象函数的原函数，正如若已知f(x)的原函数为F(x)，F(x)的原函数为G(x)，xf(x)的原函数可表示为xF(x)-G(x)+C，f(x)^2的原函数是否可以用f(x)的各阶导数和f(x)各阶的原函数表示