Question

0到x²的变上限函数求导是什么？

Answer 1

[∫<0, x^2>y(t)dt]' = y(x^2)(x^2)' = 2x·y(x^2)

Answer 2

变上限积分求导公式：

也就是∫f(t)dt（积分限a到x），按照映射的规律，每给一个x就积分出一个实数，所以这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意：积分变量无论用任何符号都不对积分值产生影响，改用t是为了不与上限x混在一起。

证明过程如下：

如果用导数定义求g'(x)，按照定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），按照积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又由于h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，到这里证明了g'(x)=f(x)。

变上限积分函数求导的原理是微积分第一基本定理：

假设被积函数f(x)在[a,b]连续，那么变上限积分函数∫xaf(t)dt在[a,b]可导，且∫xaf(t)dtdx=f(x).

简单的说，就是：变上限积分函数是被积函数的一个原函数，当然求导数后得到的是被积函数了。高中是理科生的同学，应该学过定积分的初步内容，知道“牛顿-莱布尼兹公式”，也就是微积分第二基本定理。尽管从逻辑上讲，是用这个定理推得的“牛顿-莱布尼兹公式”，但是可以借用更熟悉的“牛顿-莱布尼兹公式”理解这个定理。例如：f(x)一个原函数是F(x)，那么∫xaf(t)dt=F(t)|xa=F(x)F(a)，它自然也是f(x)的一个原函数。通常而言，大家对“牛顿-莱布尼兹公式”的印象肯定比这个定理深，所以反过来进行强化例句也是一种好办法。

例1：求极限limx→0∫x0etln(1+t)dtx2.

分子是变上限积分函数，能够使用洛必达法则。

解：limx→0∫x0etln(1+t)dtx2=limx→0exln(1+x)2x=12.

假设是变下限的积分，能够简单交换积分的上下限，变成变上限的积分。

即：∫axf(t)dt=∫xaf(t)dt

d(∫axf(t)dt)dx=d(∫xaf(t)dt)dx=f(x)