Question

11.～14.多值函数：二值函数，三值函数，四值函数，n值函数

Answer 1

二值函数：每个值对应两个确定的函数值。

三值函数：每个值对应三个确定的函数值。

四值函数：每个值对应四个确定的函数值。

。。。

n值函数：每个值对应n个确定的函数值。

由方程定义的典型的多值函数

二值函数：

三值函数：

四值函数：

n值函数：

均为由方程所描述的隐函数。

注意点：

1.PQRS为单值函数，即每当z取一个值，这几个函数分别对应于一个确定的值。因此，当z取定时，这些单值函数就转化为了常量，这些函数方程就转化为了关于Z的代数方程。

2.上面的定义式中符号交替变化，这是为什么？答案：为了描述的工整，原因在于根与系数的关系。

于是，由以上的讨论，这些定义意味着变量z的每一个值，对应于一个代数方程的解。由代数基本定理：在复数域中，n次方程必有n个解。因此，z的每个值对应于n个确定的函数值，即为n值函数。二次，三次，四次方程的情况都是特例，包含于上面的描述中。

这里首先要知道这样的一个结论，如果方程有一个虚数根，那么这个虚数的共轭也是方程的根。

如何证明？

很简单，用十分代数的话说，共轭运算保持复数的加法与乘法。

由于方程是多项式方程，总可以转化为有限次的加法与乘法的组合。从而共轭运算同样保持多项式

这里限制多项式是实系数多项式。因为实数在共轭下不变。复系数多项式经过处理也可以转化为实系数多项式。所以足够了。

于是，z为方程的根时，z的共轭也是方程的根。

最后就得出结论：虚数根必须成对出现。

二次方程，要么都是实根，要么都是虚根。

三次方程，全为实根，或者一实二虚。

四次方程，全实，全虚，二实二虚。

n次方程，虚根数目为偶数，

并且，n为奇数，必有实根，n为偶数，可以没有实根。

韦达定理：

上面提到的符号交错就是在这里起作用。

const代表常数项，n为奇数，常数项为负号，n为偶数，常数项为正号，总可以把符号消去。

对称多项式。

借助对称多项式可以求出根的对称多项式与系数的关系。

对于四次方程可以类似推导。