Question

圆锥体积公式的详细推导.

Answer 1

圆锥的体积
　　一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．
　　一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
　　根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh）,得出圆锥体积公式：
圆锥
V=1/3Sh
　　S是圆锥的底面积,h是圆锥的高,r是圆锥的底面半径.
　　证明：
　　把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
　　第 n份半径：n*r/k
　　第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
　　第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　因为
　　1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
　　所以
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
　　=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
　　因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
　　所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
　　因为V圆柱=pi*h*r^2
　　所以
　　V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3