Question

求出曲线y=1+1/(x-3)³的各种渐近线

Answer 1

回答：难度有点大，该函数的渐近线包括一条水平渐近线y=1，一条垂直渐近线x=3和一条斜渐近线y=-9/x+27/x²-27/x³+1。

首先求出该函数的定义域：x ≠ 3，因为分母不能为0。

1. 水平渐近线：
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，1/(x-3)³的值趋近于0，因此y趋近于1。所以y=1是该函数的水平渐近线。

2. 垂直渐近线：
因为函数在x=3处发生垂直渐进，所以x=3是该函数的一条垂直渐近线。

3. 斜渐近线：
将该函数化简为y=1/x³+9/x²+27/x+27，可以看出该函数的次数为3，因此存在一条斜渐近线。可以使用长除法得到该函数的斜渐近线方程：

(x-3)³ = x³ - 9x² + 27x - 27

1 - 9 27 -27
y = x³(--- + -- + -- + --)
x³ x³ x³ x³

y = 1 - 9/x + 27/x² -27/x³

所以该函数的斜渐近线方程为y = -9/x + 27/x² - 27/x³ + 1。

综上所述，该函数的渐近线包括一条水平渐近线y=1，一条垂直渐近线x=3和一条斜渐近线y=-9/x+27/x²-27/x³+1。