ax=b的解的三种情况线性代数
ax=b的解的三种情况线性代数情况分析如下:
Ax=b
如果b存在于A的列张成的空间中,则有解,否则无解;
如果b存在于A的列张成的空间中,且A的列均是线性无关的(列满秩),那么存在唯一解;
如果b存在于A的列张成的空间中,但A的列是线性相关的(非列满秩),那么存在多解。
A如果行满秩,说明A的秩等于行满秩的秩,也就是A的列数只能大于等于行数(多解或者唯一解)
A的列数等于A的行数,那么A的列是线性无关的,可以张成整个空间,对于任意的b存在解且唯一;
A的列数大于A的行数,那么A的列是线性相关的,虽然可以张成整个空间,对于任意的b存在多解;
A如果列满秩,那么A的列是线性无关的,说明A的秩等于列满秩的秩,也就是A的行数只能大于等于列数(无解或者唯一解)
A的行数等于A的列数,退化成满秩问题,对于任意的b存在解且唯一;
A的行数大于A的列数,情况分为2种(不存在多解的情况):
如果b不存在于A的列张成的空间中,则无解;
如果b存在于A的列张成的空间中,则有唯一解;
A既不是行满秩也不是列满秩(无解或者多解)
如果b不存在于A的列张成的空间中,则无解;
如果b存在于A的列张成的空间中,则有解,且是多解;(这里不考虑其他部分均0,可以退化成低维度满秩的情况,即不考虑[1 0; 0 0])