Question

椭圆的面积计算公式

Answer 1

椭圆的面积计算公式是：S=π（圆周率）×a×b（其中a，b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长）。或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

一、导数方法

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

取第一象限内面积有y^2=b^2-b^2/a^2*x^2

即y=√（b^2-b^2/a^2*x^2）

由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据（af（x））'=a*f'（x），且x=a时圆面积为a^2π/4

可得当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4

即S=abπ。

此方法比较容易理解。

二、阴影面积

众所周知，斜切圆柱所得截面即为椭圆，这在高中数学圆锥曲线一章有阐述，下面就用阴影面积法巧妙求解椭圆面积。圆形面积与椭圆面积之比为cosθ，则cosθ=πR^2/S=2R/2a，椭圆短轴b即为圆柱底面半径R，即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab。

三、周长算法

1、第一种：L1=π·qn/atan（n）

（b→a，q=a+b，n=（（a-b）/a））^2

这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般。