Question

关于定积分的一个疑问 ∫1/((x^2)+(a^2))^(1/2) dx(a>0) 书中令x=atant(-π/2

Answer 1

楼上的问题涉及两个方面:
1、“辅助三角形的任何一个角的范围是在0度到180度之间”.
这种概念是初学者,或者说,是初中生的概念,不能推广到积分的变量代换.
学到三角函数、解析几何就知道,角度可以为负,表示的是方向问题.
具体体现就是象限的问题.
负角的概念并不是真的有个角是比0还要小的负值.仅仅是旋转的方向问题.
2、arctanx在(-π/2,+π/2)上,可以取到从负无穷到正无穷的所有值.
做这样的变量代换,是完全合情合理的.
说明：
以前学的是特例,特例的情况不能代表,更不能概括通例.
往微积分学,大学学,越学越广,越学越是通例,不能局限在以前的概念上,要
对以前的概念不断修正,不断拓宽.