求问不定积分∫√(a²-x²)dx(a>0)详细解答。谢谢
∫√(a^2-x^2)dx
设x=asint
则dx=dasint=acostdt
a²-x²
=a²-a²sint²
=a²cost²
代入原积分,可以得到:
∫√(a²-x²)dx
=∫acost*acostdt
=a²∫cost²dt
=a²∫(cos2t+1)/2dt
=a²/4∫(cos2t+1)d2t
=a²/4*(sin2t+2t)
将x=asint代回,可以得到:
∫√(a^2-x^2)dx=x√(a²-x²)/2+a²*arcsin(x/a)/2+C(C为常数)
扩展资料:
如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出,但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x). 做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘(x)dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分,于是可以得到⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du。
积分公式主要有如下几类:含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分。
常用不定积分公式
1、∫kdx=kx+C。
2、∫x^ndx=[1/(n+1)]x^(n+1)+C。
3、∫a^xdx=a^x/lna+C。
4、∫sinxdx=-cosx+C。
5、∫cosxdx=sinx+C。