Question

设直线l过点P(1,2)且与抛物线y^2=2(x-1)只有一个公共点，求直线l的方程

Answer 1

设直线l的斜率为k
① 若k不存在，则设直线l：x=b
直线l过点P(1,2)，所以x=2
且与抛物线y^2=2(x-1)只有一个公共点，则
x=2 与y^2=2(x-1) 联立方程，解得y=√2
② 若k存在，则设直线l：y=kx+b
1）；若直线l垂直于x轴，则k=1，所以y=x+b
直线l过点P(1,2)，所以b=1，所以y=x+1
且与抛物线y^2=2(x-1)只有一个公共点，则
y=x+1与y^2=2(x-1) 联立方程，无解
所以k不等于1
2）；y=kx+b与y^2=2(x-1) 联立方程，则
（ kx+b）^2=2(x-1)
k^2*x^2+（2kb-2）x+（b^2+2）=0
因为 △=（2kb-2）^2-4*k^2*（b^2+2）=0
且2=k+b
联立方程，解得 k=√2/2 或 k=-√2/2
所以b=2-√2/2 或 b=2+√2/2
所以y=√2/2*x+2-√2/2 或 y=-√2/2*x+2+√2/2