Question

已知函数f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)e^x(x∈R),其中a∈R。

已知函数f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)e^x(x∈R),其中a∈R。
1.当a=0时，求曲线y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线的斜率
2.当a≠2/3时，求函数f(x)的单调区间与极值

希望给出的答案，别让我自己算。越详细越好。给分示答案而定。

Answer 1

1.a=0时，f(x)=x^2 * e^x
f'(x)=2x*e^x+x^2* e^x
f'(1)=3e,即在(1,f(1))处的切线斜率为3e

2.f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax-2a^2+3a)e^x
=(x^2+(a+2)x-2a^2+4a)e^x
=(x-a+2)(x+2a)e^x
a=2/3时， a-2=-2a.
1)当a<2/3时，a-2<-2a.
此时a-2<=x<=-2a时，有f'(x)<0,所以在[a-2,-2a]内f(x)单调减
x<=a-2或x>=-2a时，有f'(x)>0，所以在（-∞,a-2]和[-2a,+∞）内f(x)单调增.
当x=a-2或x=-2a时，有f'(x)=0,所以有两个极值点，极值分别为f(a-2)=(4-3a)e^(a-2) ,f(-2a)=3a*e^(-2a)

2)当a>2/3时，-2a<a-2.
此时-2a<=x<=a-2时，有f'(x)<0,所以在[-2a,a-2]内f(x)单调减
x<=-2a或x>=a-2时，有f'(x)>0，所以在（-∞,-2a]和[a-2,+∞）内f(x)单调增.
当x=a-2或x=-2a时，有f'(x)=0,所以有两个极值点，极值分别为f(a-2)=(4-3a)e^(a-2) ,f(-2a)=3a*e^(-2a)

Answer 2

1、
a=0
f(x)=x²*e^x
f'(x)=2x*e^x+x²*e^x
f'(1)=3e
所以切线斜率=3e

2、
f'(x)=(2x+a)*e^x+(x²+ax-2a²+3a)*e^x
=[x²+(a+2)x-2a²+4a]*e^x=0
即
x²+(a+2)x-2a²+4a=0
(x+a-2)(x+2a)=0
x=-a+2,x=-2a

若a>-2
则 -a+2>-2a
所以x<-2a,x>-a+2,f'(x)>0,增函数
-2a<x<-a+2,减函数
所以x=-2a是极大，x=-a+2是极小
f(-2a)=3a
f(-a+2)=-2a²+a+4

若a=-2
则 -a+2=-2a=4
则f'(x)=(x-4)²*e^x>=0, 增函数

若a<-2
则 -a+2<-2a
此时和第一种正相反

综上
a<-2,增区间(-∞,-a+2)∪(-2a,+∞),减区间(-a+2,-2a),极大值-2a²+a+4，极小值=3a
a=-2，增区间是R，没有极值
a>-2,增区间(-∞,-2a)∪(-a+2,+∞),减区间(-2a,-a+2),极大值3a，极小值=-2a²+a+4

Answer 3

通过对函数求导化简得到;x1=-2a和x2=a-2,又因为a不等于2/3,所以X1不等于X2.
并且x1,x2都是函数的极值点。当a>2/3时，x1<x2，单调增区间为（负无穷，-2a）并（a-2，正无穷），减区间为（-2a，a-2）,反之，当a<2/3时，x1>x2,单调增区间为（负无穷，a-2）并（-2a,正无穷）；单调减区间为（a-2,-2a）.极值是多少你可以直接将数据带入计算即可。关键是求导然后分析，分类讨论，数形结合就可以解决了。

Answer 4

讨论的不对
当a<2/3时，图像得a-2<-2a.
f(x)在[a-2,-2a]内减
在（-∞,a-2)和(-2a,+∞）内增.
极大值f(a-2)=(4-3a)e^(a-2) ,极小值f(-2a)=3ae^(-2a)

当a>2/3时，同理-2a<a-2.
f(x)在[-2a,a-2]内减
在（-∞,-2a)和(a-2,+∞）内增.
极小值f(a-2)=(4-3a)e^(a-2) ,极大值f(-2a)=3ae^(-2a)