Question

若矩阵的秩R< n，那么线性方程组一定有无穷多解。

Answer 1

（1）唯一解

唯一解的情况非常好理解，就是每个变量均有唯一值，在高斯－诺尔当消元法中，对应的情况就是，增广矩阵中的系数矩阵A可以化简为单位矩阵。

实例如下：

可以看到，若矩阵的秩R==原线性方程组变量的个数（也是增广矩阵的列数）n，那么此时线性方程组有唯一解。

（2）无解

根据上一节中，无解的实例ex1，我们可以看到，若存在任意行有0=d（常数项）。那么线性方程组无解。因此这种情况，就无需看矩阵的秩与n的关系，可以直接通过是否存在“0=d”方程来判断。

（3）无穷多解

根据上一节中，无穷多解的实例ex2，可以很容易的发现。若矩阵的秩R<n，就一定有自由变量F的存在。

这里解释一下自由变量F：不是主元的变量就称作自由变量。

思考：为什么R<n,就一定存在自由变量？

因为有一行全为0，那么就一定存在主元的数量＜变量的数量。

因此，结论是：若存在矩阵的秩R<n，那么线性方程组一定有无穷多解。