Question

两道有关数列的题目

已知{an}为等差数列，公差d≠0.{an}中一部分项组成的数列ak1，ak2，…，akn，…恰为等比数列，其中k1=1，k2=7，k3=31.
1求kn
2记Tn=k1+k2+…+kn

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（1/2）^（n-1）+2
1令bn=2^n an,求数列{bn}的通项公式
2令cn=（n+1）/n）*an，求数列{cn}的前n项和Tn；并判断Tn与（5n）/（2n+1）的大小

Answer 1

一.
解：
1
(ak2)^2=(ak1)*(ak31)
即：(a7)^2=(a1)*(a31)
即：(a1+6d)^2=(a1)*(a1+30d)
因为d!=0,所以a1=2*d; (!=是不等于)
所以an=(n+1)d
设等比数列的公比为：q
q=a2/a1=3/2
ak1=2*d
所以akn=(ak1)*(3/2)^(n-1)=2d*(3/2)^(n-1)
且akn=((kn)+1)*d
所以2d*(3/2)^(n-1)=((kn)+1)*d
所以kn=2(3/2)^(n-1)-1

2
Tn=2*((3/2)^n-1)/(3/2-1)-n=4*((3/2)^n-1)-n

二

1
Sn=-an-（1/2）^（n-1）+2 (1)
S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2 (2)
(1)-(2) 得：
an=a(n-1)-an+(1/2)^(n-2)-（1/2）^（n-1)
化简得：
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-1)
所以2^n*an=2^(n-1)*a(n-1)+1
所以bn=b(n-1)+1
b1=2*a1=2*S1=1
所以bn=n

2

an=n/(2^n)
cn=(n+1)/(2^n)
Tn= c1+c2+...cn
= 1/2+2/2^2+... +n/2^n (1)
Tn/2= 1/2^2+2/2^3+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) (2)
(1)-(2) 得：
Tn/2=1/2+1/2^2+...+1/2^n-n/2^(n+1)
=1/2*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-(n+2)/2^(n+1)
Tn=2-(n+2)/2^n
n->无穷大时 Tn<（5n）/（2n+1）是一定的
至于中间有没有 Tn>（5n）/（2n+1）的情况，
你自己研究吧

仅做参考