Question

微分方程（x+y)(dx-dy)=dx+dy的积分因子是什么

想知道具体的求解过程~

Answer 1

解:∵把原微分方程两端同乘以1/(x+y),得
dx-dy=(dx+dy)/(x+y) ==>d(x-y)=d(x+y)/(x+y)
==>d(x-y)-d(x+y)/(x+y)=0
==>d(x-y)-d[ln(x+y)]=0
==>d[x-y-ln(x+y)]=0
∴原微分方程两端同乘以1/(x+y)后就构成了全微分方程
故原微分方程得积分因子就是1/(x+y)

Answer 2

积分因子就是设法找到一个e的幂函数，乘上微分方程后，使得原来的微分方程变成一个全微分方程。本题的式子就是全微分方程，所以常数就是积分因子

具体求积分因子的方法：
1、将微分方程写成：
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式
2、把上面的形式想像得绝对完美一些，
如果M(x,y)来自于一个多元函数对x的偏导；
如果N(x,y)来自于一个多元函数对y的偏导。
那么只要将M(x,y)对x积分；N(x,y)对y积分。
3、假如是这样，假设原函数是U(x,y)
M(x,y)=∂U/∂x, N(x,y)=∂U/∂y
dU = (∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy
由于二阶导数的先后不影响结果，即：
∂²U/∂x∂y = ∂²U/∂y∂x
4、将M(x,y)对y求偏导，N(x,y)对x求偏导；
然后相减：∂M/∂y - ∂N/∂x
5、将∂M/∂y-∂N/∂x除以M(x,y),结果如果是y的函数，就对y积分；
将∂M/∂y-∂N/∂x除以N(x,y),结果如果是x的函数，就对x积分。
6、将积分结果作为e的幂，这就是积分因子。