Question

求助！！求极限中等价无穷小在使用上的问题

大家好！由于是在家复习，现有两个问题 书上说等价无穷小只能用于乘除运算 书上都是两个都含有x的函数因子的加减情况，其中一个因子使用无穷小代换就错了 但是 我的问题是：1，如果分子（或分母）是可以恒等变换成一个可用等价无穷小的因子和一个常数的和。那么前面那个因子可以使用无穷小替换吗？？ 为什么？2，如果分子（或分母）是可以恒等变换成两个可用等价无穷小的因子，例如：分子是e^f(x)-e^g(X) 其中f(x),g(x)都趋于0那么分子恒等变换成e^f(x)-1-{e^g(X)-1} 后能使用等价无穷小吗？ 我按这种方法答案和书上的虽然是一样的 但是书上都是提出含有e的公因式做的 不只到是指数函数特殊的运算性质导致的结果一样 还是可以这样使用 一个人孤独奋战真的很不容易！！ 谢谢大家帮助了！

Answer 1

我自己搞清楚了 希望和大家公冕 只要两个因子等价无穷代换后的相减不为0就可以了 如果相减为0 就用麦克劳琳写出更高阶的无穷小来替换 例如：当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。 用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。 我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故； 而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0

Answer 2

2，不能像你这么做，你这样还是在加减运算中替换无穷小啊，应该提出e^g(X)后变成乘积形式，然后再替换

Answer 3

原来是这样啊 不简单[em:42]