设A是4*3型矩阵，B是3*4型矩阵，则一定有？
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选项B错误，请看反例：
设矩阵A为： 矩阵B为： 矩阵BA为：
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0
显而易见：｜BA｜=1≠0
选型C，D均错误，请看反例：
设矩阵A为： 矩阵B为：
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
显而易见：不论是AB还是BA，均为零矩阵，因此｜AB｜=｜BA｜=0
所以只有选项A是正确的，下面给予证明：
∵矩阵A是4×3矩阵，矩阵B是3×4矩阵
∴矩阵AB是4×4矩阵（即4阶方阵），秩r(A)≤3，秩r(B)≤3
∴秩r(AB)≤min[r(A),r(B)]≤3＜4
∴矩阵AB不可逆
∴｜AB｜=0
设矩阵A为： 矩阵B为： 矩阵BA为：
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0
显而易见：｜BA｜=1≠0
选型C，D均错误，请看反例：
设矩阵A为： 矩阵B为：
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
显而易见：不论是AB还是BA，均为零矩阵，因此｜AB｜=｜BA｜=0
所以只有选项A是正确的，下面给予证明：
∵矩阵A是4×3矩阵，矩阵B是3×4矩阵
∴矩阵AB是4×4矩阵（即4阶方阵），秩r(A)≤3，秩r(B)≤3
∴秩r(AB)≤min[r(A),r(B)]≤3＜4
∴矩阵AB不可逆
∴｜AB｜=0
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2020-07-03 广告
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选A。首先一个p*q的矩阵的秩是≤min(p,q)的，因此r(A)≤3，r(B)≤3，再根据两个矩阵A和B的乘积的秩r(AB)≤min{r(A),r(B)}，可知本题中r(AB)也是≤3的。而AB是4*4的方阵，r(AB)≤3意味着AB不是满秩的，因此行列式等于0
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