Question

设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数

Answer 1

解设x1，x2属于(0,+∞)，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=e^x1+e^（-x1）-e^x2-e^（-x2）
=e^x1-e^x2+e^（-x1）-e^（-x2）
=e^x1-e^x2+1/e^（x1）-1/e^（x2）
=e^x1-e^x2+e^（x2）/e^（x2）e^（x1）-e^（x1）/e^（x1）e^（x2）
=e^x1-e^x2+[e^（x2）-e^（x1）]/e^（x1）e^（x2）
=e^x1-e^x2-[e^（x1）-e^（x2）]/e^（x1）e^（x2）
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^（x1）e^（x2）]
由x1＜x2
知e^x1＜e^x2
即e^x1-e^x2＜0
又由0＜x1＜x2
即e^（x1）＞1，e^（x2）＞1
则e^（x1）e^（x2）＞1
即1-1/e^（x1）e^（x2）＞0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^（x1）e^（x2）]＜0
即f（x1）-f（x2）＜0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数

Answer 2

假设b>a>0
f(b)-f(a)=e^b+e^(-b)-e^a+e^(-a)
由于b>a>0
所以e^b-e^a>0;e^(-a)-e^(-b)>0
所以f(b)-f(a)>0
所以单调递增

Answer 3

f'(x)=e^x-e^-x。令f'(x)>0，即e^x-e^-x>0，解得x>0，所以f(x)在(0, ∞)上是单调增函数