Question

定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x+1)=-2/f(x),且在区间（2013,2014）上单调递增，

定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x+1)=-2/f(x),且在区间（2013,2014）上单调递增，已知A,B是锐角三角形的两个内角， 则f(sinA),f(cosB)的大小关系

Answer 1

解：
由f(x+1)=-2/f(x) 得 f(x)=-2/f(x-1) 即 f（x+1）*f(x)=-2
f(x)f(x-1)=-2 从而可以知道 f(x-1)=f(x+1) 那么 f(x)=f(x+2)
对于任意的x1 , x2 属于 (0,1) 而且 x1>x2 ,再有f(-x)=f(x) 得出

f(x1)=f(-x1)=f(-x1+2)=f(-x1+4)=.....=f(-x1+2014) 注意到 -x1属于(2013,2014)
同理得出 f(x2)=f(-x2+2014) -x2属于(2013,2014) 由于f(x)在(2013,2014)上单增
故有 f(-x2+2014)>f(-x1+2014) 即 f(x2)>f(x1) 所以f(x)在(0,1)是减函数。
已知A,B是锐角三角形的两个内角，可以知道，A+B>90度

那么 A>90度-B 得 sinA>sin(90度-B)=cosB
当cosB< sinA 时 由上面的结论可知 f(sinA)<f(cosB)