Question

求证：在任意n个相异的整数中，存在若干个数，它们的和能被n整除。

求证：在任意n个相异的整数中，存在若干个数，它们的和能被n整除。

Answer 1

求证：在任意n个相异的整数中，存在若干个数，它们的和能被n整除。 证明：这题目用抽屉原理来证明。设a1，a2，a3，……，an是n个相异的整数，则存在以下n个和：a1，a1+a2，a1+a2+a3，……，a1+a2+a3+……+an。一个数除以n的余数只有0，1，2，3，...，n这n个。（1）如果上述n个和除以n的余数互不相同，那么其中必有一个除以n的余数为0，即这个和能被n整除。原命题成立。（2）若其中没有一个能被n整除；则将他们按模n的剩余类至多可分为余数为1，余数为2，…，余数为n-1的n-1个类.因此,这几个整数中至少有两个整数对模n有相同的余数。由于这两个和数各不相同，所以大和-小和=大和里除小和的几个加数外其他数的和，必是n的倍数，原命题也成立。（3）综上所述，在任意n个相异的整数中，存在若干个数，它们的和能被n整除。