Question

已知函数f(x)=-x²+4x(x≥0)或ax(x<0)且f(-1)=2 若函数g（x）=f（x）- m有三个互不相等的零点a b c，

（1）求m的取值范围
（2）求a+b+c的取值范围

Answer 1

2、a,b为x>=0部分的零点，所以(a+b)/2=2(对称轴)，所以a+b=4

c为x<0部分的零点，所以c=-(m/2),又0<m<=4,所以-2<=c<0

所以2<=a+b+c<4

Answer 2

已知函数f(x)=-x²+4x(x≥0)或ax(x<0)且f(-1)=2， 若函数g（x）=f（x）- m有三个互不相等的零点a、 b、 c；（1）求m的取值范围；（2）求a+b+c的取值范围。
解：由f(-1)=-a=2，得a=-2；∴当x≥0时，f(x)=-x²+4x=-(x-2)²+4；当x<0时f(x)=-2x.
(1)。g(x)=f(x)-m的图像就是把f(x)的图像向下平移m个单位，由作图可见，当g(x)有三个不同的零
点时，0<m<4.
(2)。当x≥0时，f(x)有对称轴x=2，因此可设b=2-t，c=2+t，0<t<2；故b+c=2-t+2+t=4；
当x<0时,由f(x)=-2x-m=0，得a=-m/2，因此当0<m<4时，-2<a<0；
故2<a+b+c<4.

Answer 3

(1)利用图象，先作x≥0这部分，y=-(x-2)^2+4,图象为二次曲线，开口向下，顶点在（2，4）在x轴上交于（0，0）（4，0）;
再作x<0这部分，这是正比例函数，
如果a>0，则不合题意，因为整个函数的图象往上下平移后不可能与x轴有三个交点，
如果a<0, 则符合题意，所以作一条过原点，在第二象限递减的直线。
观察整个曲线，可得0<m<4
(2)(b+c)/2=2, b+c=4, -4<a<0, 所以0<a+b+c<4

Answer 4