如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,过点P作直线,交AD于E,交BC于F,若PE=PF, 50
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过点E坐EM⊥AP于点M,过点F作FN⊥CP于点N,
则∠EPM=∠FPN,∠EMP=∠FNP=90°,EP=FP
所以三角形EMP与三角形FNP全等
所以PM=PN(2),EM=FN,
因为AP+AE=CP+CF(1)
(1)-(2)(3)
得,AE+AM=CF+CN
由勾股定理知:AE^2-AM^2=EM^2=FN^2=CF^2-FN^2
即(AE-AM)(AE+AM)=(CF-FN)(CF+FN)(4)
由于AE+AM=CF+CN(3)
所以(4)/(3)得,
AE-AM=CF-FN(5)
(3)+(5)得AE=CF,,AM=FN
所以AP=CP,
因为PE=PF,∠APE=∠CPF,所以三角形APE与三角形CPF全等
所以∠EAP=∠FCP,
又因为∠APD=∠CPB,所以三角形APD与三角形CPB全等
所以PD=PB,
又因为AP=CP即AC、DB互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形
则∠EPM=∠FPN,∠EMP=∠FNP=90°,EP=FP
所以三角形EMP与三角形FNP全等
所以PM=PN(2),EM=FN,
因为AP+AE=CP+CF(1)
(1)-(2)(3)
得,AE+AM=CF+CN
由勾股定理知:AE^2-AM^2=EM^2=FN^2=CF^2-FN^2
即(AE-AM)(AE+AM)=(CF-FN)(CF+FN)(4)
由于AE+AM=CF+CN(3)
所以(4)/(3)得,
AE-AM=CF-FN(5)
(3)+(5)得AE=CF,,AM=FN
所以AP=CP,
因为PE=PF,∠APE=∠CPF,所以三角形APE与三角形CPF全等
所以∠EAP=∠FCP,
又因为∠APD=∠CPB,所以三角形APD与三角形CPB全等
所以PD=PB,
又因为AP=CP即AC、DB互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形
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延长AC,截取AM=AE,连接EM;截取CN=CF,连接FN
那么∠M=∠AEM,∠CFN=∠N
∵AP+AE=CP+CF
∴AP+AM=CP+CN
即PM=PN
∵PE=PF
∠MPE=∠NPF
∴△MPE≌△NPF(SAS)
∴∠M=∠N=∠AEM=∠CFN
EM=FN
∴∠EAM=∠FCN
即180°-∠EAM=180°-∠FCN
∴∠EAP=∠FCP
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
∵∠APE=∠CPF,∠EAP=∠CFP
PE=PF
∴△APE≌△CPF(AAS)
∴AP=CP
∵∠EAP=∠FCP,即∠DAP=∠BCP
∠APD=∠BPC
AP=CP
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴AD=BC
∵AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
那么∠M=∠AEM,∠CFN=∠N
∵AP+AE=CP+CF
∴AP+AM=CP+CN
即PM=PN
∵PE=PF
∠MPE=∠NPF
∴△MPE≌△NPF(SAS)
∴∠M=∠N=∠AEM=∠CFN
EM=FN
∴∠EAM=∠FCN
即180°-∠EAM=180°-∠FCN
∴∠EAP=∠FCP
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
∵∠APE=∠CPF,∠EAP=∠CFP
PE=PF
∴△APE≌△CPF(AAS)
∴AP=CP
∵∠EAP=∠FCP,即∠DAP=∠BCP
∠APD=∠BPC
AP=CP
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴AD=BC
∵AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
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证明:延长PA至G,使AG=AE,连接GE;延长PC至H,使CH=CF,连接HF
∵PG=PA+AG PH=PC+CH
∴PG=PA+AE PH=PC+CF
∵AP+AE=CP+CF
∴PG=PH
∵PE=PF ∠EPG=∠FPH
∴△EPG≌△FPH
∴∠G=∠H
∵∠G=∠AEG ∠H=∠CFH
∴∠EAP=2∠G ∠FCP=2∠H
∴∠EAP=∠FCP
∵∠APE=∠CPF PE=PF
∴△APE≌△CPF
∴AP=CP
∵∠APD=∠CPB ∠EAP=∠FCP
∴△APD≌△CPB
∴PD=PB
∴四边形ABCD为平行四边形
∵PG=PA+AG PH=PC+CH
∴PG=PA+AE PH=PC+CF
∵AP+AE=CP+CF
∴PG=PH
∵PE=PF ∠EPG=∠FPH
∴△EPG≌△FPH
∴∠G=∠H
∵∠G=∠AEG ∠H=∠CFH
∴∠EAP=2∠G ∠FCP=2∠H
∴∠EAP=∠FCP
∵∠APE=∠CPF PE=PF
∴△APE≌△CPF
∴AP=CP
∵∠APD=∠CPB ∠EAP=∠FCP
∴△APD≌△CPB
∴PD=PB
∴四边形ABCD为平行四边形
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