Question

已知椭圆C；x/a+y/b=1(a>b>0)的离心率为1/2,且经过p(1,3/2)

1) 求椭圆C的方程 2）设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的园的位置关系，并说明理由

Answer 1

1）： 有题e=c/a=1/2 ； 所以，c=1/2a 。 又因a^2=b^2+c^2 ，带入可得：3a^2=4b^2 （1） p(1,3/2)在椭圆x/a+y/b=1(a>b>0)上，满足： 1/a^2+9/(4b^2)=1 (2) 联立(1)(2)得： a=2 ；b=根号3 ； c=1 。 所求椭圆C的方程为： x/4+y/3=1 。 2）：以PF为直径的圆 内切于 以椭圆长轴为直径的园 ；且内切点坐标为(0，2) 。 理由如下： 有上易知：左焦点F坐标为(-1，0)，左焦点F2(1，0) 。 连接PF2，P(1,3/2) ，F2(1，0) ，可知：PF2垂直于FF2 。 直接三角形PFF2中： PF=a+ex=2+1/2=5/2 ；PF2=a-ex=3/2 。 设PF交y轴于点Q，易知： OQ平行于 PF2，且 OQ=1/2PF2=3/4 （3） 即： Q为Rt△PFF2斜边PF的中点，亦为以PF为直径的圆的圆心。 (O为坐标原点) 以PF为直径的圆的半径 R1=1/2PF=5/4 ； 以椭圆长轴为直径的园的半径 R2=1/2长轴长=a=2 ；则：R2- R1=2-5/4=3/4 （4） 由(3)(4) 可知：两圆圆心距 OQ=R2- R1=3/4 ； 从而可知：以PF为直径的圆 内切于 以椭圆长轴为直径的圆 ； 且内切点为 以椭圆长轴为直径的圆 与y轴的交点 ；即：点（0，2）。