Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0），的离心率为二分之根号三

设过椭圆的焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，且AB=8
（1）求椭圆C的方程
（2）对于椭圆C上任一点M，若OM=aOA+bOB．求ab的最大值.

Answer 1

（1）因为a>b>0，所以焦点在x轴上

e=c/a=√(1-b^2/a^2)=√3/2 得出：a=2b
所以c=√3/2*a=√3b
根据题意，直线L：y=x±c
因为椭圆为中心对称图形，所以直线L过左焦点还是右焦点，对结果无影响
所以不妨设直线L：y=x+c=x+√3b
x^2/4b^2+(x+√3b)^2/b^2=1
x^2+4(x^2+2√3bx+3b^2)=4b^2
5x^2+8√3bx+8b^2=0
设A(x1,x1+√3b)，B(x2,x2+√3b)
|AB|^2=(x1-x2)^2+(x1+√3b-x2-√3b)^2
=2(x1-x2)^2
=2[(x1+x2)^2-4x1x2]
=2*[(-8√3b/5)^2-4*(8b^2/5)]
=64b^2/25
=64
所以b=5 a=2b=10
所以椭圆方程：x^2/100+y^2/25=1
（2）x^2+8√3x+40=0
(x+4√3)^2=8
x+4√3=±2√2
x1=-4√3+2√2 x2=-4√3-2√2
|OA|=√[x1^2+(x1+5√3)^2]=√(8+48-16√6+8+3+4√6)=√(67-12√6)
|OB|=√[x2^2+(x2+5√3)^2]=√(8+48+16√6+3+8-4√6)=√(67+12√6)
根据椭圆的参数方程，设M(10cost,5sint) 0<=t<2π
|OM|=√(100cos^2t+25sin^2t)=√(25+75cos^2t)=5√(1+3cos^2t)
因为|OM|=a|OA|+b|OB|
5√(1+3cos^2t)=a√(67-12√6)+b√(67+12√6)
>=2√(ab*5√145) 当且仅当a√(67-12√6)=b√(67+12√6)时，等号成立
2√(ab*5√145)<=5√(1+3cos^2t)<=10
20ab√145<=100
ab√145<=5
ab<=(√145)/29
所以ab的最大值为(√145)/29