Question

已知椭圆x²／a²＋y²／b²=1（a＞b＞0）的离心率为根号3／3，以原点为圆心，椭圆短半轴

已知椭圆x²／a²＋y²／b²=1（a＞b＞0）的离心率为根号3／3，以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆于直线y=x+2相切。
（1）求a与b、
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线L1过F2.且与x轴垂直，董直线L2.于y轴垂直，L2交L1于P点。求线段PF1的垂直平分线于L2的交点M的轨迹方程，并指出曲线类型

Answer 1

解：（1）由e=√3／3，得b2／a2=1-e2=2／3；
l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得2／√2=|b|．
b=√2，a=√3
x2／3+y2／2=1．
（2）由条件，知|MF2|=|MP|，
即动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l1：x=-1的距离，
M的轨迹C2的方程是y2=4x．

追问

还能在详细点儿么？？？

追答

2由题目可知
∵|MP|=|MF2|，
∴动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它的定点F2（1，0）的距离
∴动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，
∴p2=1，p=2，
∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．

追问

再来一道题行么？我给你加分。。。。已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足向量HP·向量PM=0， 已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足向量HP·向量PM=0，向量PM=-3/2向量MQ。
⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C
⑵过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交与A、B两点，若在x轴上存在一点E（xo,0），使得三角形ABE是等边三角形，求xo的值

要详细过程谢谢

追答

1设点M的坐标为（x，y），
PM=-3/2MQ．得P(0，-y/2)，Q(x/3，3)，
HP•PM=0，得(3，-y/2)•(x，3y/2)=0，
y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，不包括原点．

2设l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，
k2x2+2（k2-2）x+k2=0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=-2(k2-2)／k2，x1x2=1
AB中点(2-k2／k2，2／k)，
AB的垂直平分线y-2／k=-1／k(x-2-k2／k2)，
令y=0，x0=2／k2+1，
E(2／k2+1，0)．
△ABE为正，
E(2／k2+1，0)到AB距离=√3／2|AB|，
|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=4√1-k2／k2•√1+k2．
﹙2√3√1-k2﹚／k2=2√1+k2／|k|
k=±√3／2，
x0=11／3．

追问

太bug了！！！多谢！@！！

Answer 2

1
e=√3/3
c/a=√3/3
c^2/a^2=1/3
b^2/a^2=2/3
O到y=x+2距离
b=|0*x-0*y+2|/√(1^2+1^2)=√2
a^2=3,a=√3

2
c=1
F1(-1,0) F2(1,0)
L1: x=1
L2:y=h
P(1,h)
PF1直线：y-h=[h/(1-(-1))](x-1), y=(h/2)x -h/2
PF1中点N Nx=(1/2)(1+(-1))=0 Ny=h/2
过M垂直平分线：y-h/2=[(-1)/(h/2)]x
y= -2x/h+h/2
y=h,x=h/2*/(-2/h)=-h^2/4
x=-y^2/4
轨迹方程y^2=-4x 抛物线

追问

再拜托一道题好么？？？ 已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足向量HP·向量PM=0，已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足向量HP·向量PM=0，向量PM=-3/2向量MQ。
⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C
⑵过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交与A、B两点，若在x轴上存在一点E（xo,0），使得三角形ABE是等边三角形，求xo的
要详细过程谢谢！！！快！！！

Answer 3

解答：我来帮你！
过程大致如下：
根据题目可知：离心率e=√3/3 因此：c/a=√3/3
可得：c^2/a^2=1/3 故此有： b^2/a^2=2/3 （因为c^2+b^2=a^2)
又因为：O到y=x+2距离等于b；（b为半径）
那么：
b=|0*x-0*y+2|/√(1^2+1^2)=√2
解得：a^2=3,a=√3 故此椭圆方程：X^2/3+y^2/2=1；
第二题：
根据椭圆方程可知道：c=1
焦点为：F1(-1,0) F2(1,0)
两条直线分别为：L1: x=1 ；L2:y=h
可设点P(1,h)：
因此有： PF1直线：y-h=[h/(1-(-1))](x-1), 整理可得： y=(h/2)x -h/2
记PF1中点N；
因此N点坐标： Nx=(1/2)(1+(-1))=0 Ny=h/2
过M垂直平分线：y-h/2=[(-1)/(h/2)]x
可以得到：y= -2x/h+h/2 y=h, x=h/2*/(-2/h)=-h^2/4
联立两式子：有：x=y^2/4
轨迹方程y^2=4x 抛物线 。
但愿对你有帮助！！！！祝你学习进步！！！！！！

Answer 4

可惜今天木有时间回答了。。。悬赏分实在是很诱人啊

追问

真的不写了么？》》？？？拜托了。。。