Question

设Ω是由锥面z=根号(x^2+y^2)与半球面z=(R^2-x^2-y^2)^（1/2）围成的空间闭区域

∑是Ω的整个边界的外侧，则∫∫（下标为∑）xdydz+ydzdx+zdxdy=________.答案为(2-(根号2)/4)πR^3
求详解

Answer 1

直接用高斯定理即可。
原积分=∫∫（下标为∑）xdydz+ydzdx+zdxdy=∫∫∫(1+1+1)dV

=3∫∫∫dxdydz
=3∫(0->2π)dθ ∫(0->π/4)dφ ∫(0->R) rdr
=3π^2R^2/4

追问

我的方法跟你一样……但是答案是(2-(根号2)/4)πR^3

追答

对不起我积分弄错了，球面坐标应该是
3∫∫∫dxdydz
=3∫(0->2π)dθ ∫(0->π/4)dφ ∫(0->R) r^2sinφdr
=(2-√2)πR^3

Answer 2

根号（ⅹ2+y2）