Question

设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上

,只有f(1)=f(3)=0(1)证明函数f（x)为周期函数（2)试求方程f（x）=0在闭区间【-2005，2005】上的根的个数。

Answer 1

f(2-x)=f(2+x)
f(7-x)=f(2-(-5+x))=f(2+(-5+x))=f(-3+x)=f(7+x)
所以f(x-3)=f(x+7)
f(x)=f(x-3+3)=f(x+7+3)=f(x+10)
得f(x)=f(x+10)
以10为周期的周期函数.
f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+x+2)=f(x+4)≠f(x+10)
所以不是偶函数

因为[0,10]上只有f(1)=f(3)=0
所以f(0)≠0,所以不是奇函数
所以f(x)是非奇非偶函数

在[0,10]内有两个根,以10为周期,那么在[0,2005]有402个
在[-2005,0]也有402个,所以在[-2005,2005]有804个根