Question

设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0。

Answer 1

1、因为f(-1)=f(5)，而在[0,7]上，只有f（1）=f（3）=0，所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1)，所以f(x)为非奇非偶函数
2、由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），得f(x)=f(4-x)，f(x)=(14-x)，所以函数f(x)的最小正周期为10，由且在[0,7]上，只有f（1）=f（3）=0
且f(x)关于x=7对称，则在[7,14]上只有f(11)=f(13)=0。所以，在[0，10]上只有两个f(x)=0的根，所以在区间[-2012，2012]上根的个数为805个

Answer 2

(1)证明函数f(x)为周期函数
f(x)=f(2-(2-x))=f(2+(2-x))=f(4-x)=f(7-(3+x))=f(7+(3+x))=f(10+x)，这说明10是f(x)的一个周期（不一定是最小周期）,函数f(x)为周期函数.
（2)试求方程f(x)=0在闭区间【-2005，2005】上的根的个数。
f(1)=f(3)=0,
故对任意满足-2005≤10k+1≤2005或-2005≤10k+3≤2005整数k，f(10k+1)=f(10k+3)=0，满足上面不等式的k各有401个，共802个，在闭区间【-2005，2005】上的根的个数为802。