Question

设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0

试判断函数y=f(x)的奇偶性。没学过周期函数啊，只学过必修一一二单元

Answer 1

如果是奇函数，则有f(0)=-f(0)，即f(0)=0,与已知矛盾

如果是偶函数，则f(3)=f(-3)=0
令x=5，得f(-3)=f(7)=0.与已知矛盾

故该函数为非奇非偶

PS：定义域为R的奇函数一定经过原点，即一定有f(0)=0,这个结论很重要

追问

得f(-3)=f(7)=0.与已知矛盾 这里为什么矛盾了

追答

已知给出在[0,7]只有两个零点（函数值为零的点）1,3，显然现在7也是零点，所以矛盾喽

Answer 2

解：易知，对任意实数x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数。
由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[0,7]上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾。∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾。∴f(3)+f(-3)≠0.综上可知，在R上，函数f(x)非奇非偶。

追问

没学过周期函数啊，好像答案用赋值法做的，吧x看做X+2，可以做吗，求拯救

追答

不要用周期函数的知识，你只要知道有f(10+x)=f(x)就行了。