Question

如图,在△ABC中,∠BAC=50°,∠ACB=75°,点I是两条角平分线的交点.

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=75°，点I是两条角平分线的交点．
⑴求∠BIC的度数；
⑵若点D是两条外角平分线的交点，求∠BDC的度数；
⑶若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°．
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI=
12
∠ABC=
12
×65°=32.5°．
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI=
12
∠ACB=
12
×75°=37.5°．
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°．

（2）∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB．
∵∠NCB是△ABC的外角，
∴∠NCB=∠A+∠ABC．
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°．
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠CBD=
12
∠MBC．
∵CD是∠NCB的平分线，
∴∠BCD=
12
∠NCB．
∴∠CBD+∠BCD=
12
（∠MBC+∠NCB）=
12
×220°=110°．
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-110°=70°．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=
12
∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG=
12
（∠BAC+∠ABC）=
12
∠BAC+
12
∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC．
∴
12
∠BAC+
12
∠ABC=
12
∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC=2∠BEC．

Answer 2

(1)∠A=50，∠ACB=75，∠ABC=55，
∠IBC=1/2∠ABC=55/2，∠ICB=1/2∠ACB=75/2
∠IBC+∠ICB=1/2（∠ACB+∠ABC）=65
∠BIC=180-65=115
2、同理可∠DBC=125/2，∠DCB=105/2，∠DBC+∠DcB=115
∠D=65
3、∠ECG=∠EBG+∠E
∠ACG=∠ABC+∠A，即2∠ECG=2∠EBG+∠A
把、∠ECG=∠EBG+∠E代入2∠ECG=2∠EBG+∠A
∠A=2∠E

Answer 3

看不清图