Question

高数高手来。这个无穷级数怎么判敛！！！∑n从1到无穷 (e^n) * (n!)/(n^n)

∑n从1到无穷 (e^n) * (n!)/(n^n)
详细解答的采纳

Answer 1

这个级数是发散的.
用到不等式(1+1/k)^k < e (这是数列(1+1/n)^n单调性和收敛性的推论),
即(k+1)^(k+1) < e·k^k·(k+1).
对k从1到n-1相乘得n^n < e^(n-1)·n!,
因此e^n·n!/n^n > e, 级数通项不收敛到0.

注: 补充一个结论(Stirling公式): n! ~ (n/e)^n·√(2πn).
虽然一般不能直接使用, 但用于估计n!判断证明方向是非常方便的.
对于本题可以知道通项与√(2πn)等价, 自然不可能收敛.

追问

n! 开n次方。。在n趋向正无穷的时候 ，。。等于几？

追答

(n!)^(1/n)趋于无穷.
因为对任意a >1, 都可以证明n!/a^n趋于无穷,
换句话说, 当n充分大时, (n!)^(1/n)可以大于任意的a.

追问

我看到书上没有你说的这么复杂
书上说 ，对数列∑n从1到无穷 (e^n) * (n!)/(n^n)来说

u下标（n+1）/u下标（n） =e /(1+1/n)^n 是>1的。所以数列单调递增不是无穷小量、、所以级数发散

我看不太懂 麻烦你解释一下，是不是数列递增就一定发散？？那级数收敛的必要条件就应该是数列递增 而不是通项极限趋于0了

追答

确实, 直接说明e^n·n!/n^n递增简单一些.
总之关键是用到不等式(1+1/n)^n < e.

一个级数收敛的必要(非充分)条件是通项收敛到0.
(换句话说, 级数发散的充分条件是通项不收敛到0).
而e^n·n!/n^n递增, 故通项 ≥ 第1项 = e,
因此通项不能收敛到0, 所以级数发散.

对不恒为0的正项级数来说, 通项递增则通项必然不能收敛到0.
可以说这里有两个级数发散的判别法, 都是充分条件:
①如果级数通项不收敛到0, 则级数发散.
②如果正项级数通项递增且不恒为0, 则级数发散.
②是①的推论, 适用范围也较窄, 所以一般不会特别拿出来说.
而是直接用①证明发散.

如果是负项级数, 则通项递增也可能收敛, 例如∑-1/n².
可以改成: ②'如果级数不恒为0且通项绝对值递增, 则级数发散.
当然, 这也是①的推论.

Answer 2

用根式判别法就行了呗，收敛的~

追问

根式判敛。。结果等于1.。。。。收敛？？？呵呵

追答

不是等于1啊。。。。。等于0啊n！开n次根等于1啊，所以最后得到e/n，之不就是0吗

求采纳

 

最后完善一次加个图，不信拉倒

追问

大哥 n 开n次方和 n的阶乘开n次方一样么。。。。
！！！？？？？

追答

发错了，等下发个证明给你

你要是有计算器再试多几个大的数字

n越大结果越小，越接近1

哦！我错了，确实是无穷，sorry.........