Question

求微分方程y"-10y'+25y=x^2e^（5x)的通解

Answer 1

解：1、∵齐次方程y"-10y'+25y=0的特征方程是r^2-10r+25=0，则r=5（二重实根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(5x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax^4+Bx^3+Cx^2)e^(5x)
则代入原方程，化简得 (12Ax^2+6Bx+2C)e^(5x)=x^2e^(5x)
==>12A=1,6B=0,2C=0
==>A=1/12,B=C=0
∴y=x^4e^(5x)/12是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=(Ax^4+Bx^3+Cx^2)e^(5x)+x^4e^(5x)/12。
2、Ⅰ=∫<0,1>xdx∫<0,x>y^2dy
=∫<0,1>x(x^3/3)dx
=(1/3)∫<0,1>x^4dx
=(1/3)(1/5)
=1/15。