Question

（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP

（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；②若CD=n?PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S 1 ，△DPE的面积为S 2 ．求证：S 1 =（n+1）S 2 ．

Answer 1

证明：（1）∵在△BCP与△DCE中， ， ∴△BCP≌△DCE（SAS）。 （2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，∴∠CPE=45°。∴∠FPD=∠CPE=45°。∴∠PFD=45°。∴FD=DP。 ∵CD=2PC，∴DP=CP。∴FD=CP。 ∵在△BCP与△CDF中， ， ∴△BCP≌△CDF（SAS）。 ∴∠FCD=∠CBP。 ∵∠CBP+∠BPC=90°，∴∠FCD+∠BPC=90°。 ∴∠PGC=90°，即BP⊥CF。 ②设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1， 易知△FDP为等腰直角三角形，∴FD=DP=n﹣1。 ， ， ∴S 1 =（n+1）S 2

试题分析：（1）由SAS即可证明△BCP≌△DCE。 （2）①在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF。 ②设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S 1 与S 2 的值，得 ， ，所以S 1 =（n+1）S 2 结论成立。