Question

设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）

设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．（1）求f（1），f（19）的值；（2）证明：f（x）在R+上是减函数；（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，则f（

1

9

）=2；
（2）取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁?

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得：f[x（2-x）]＜f（

1

9

），其中0＜x＜2，
由可（2）得：

x(2?x)＞  1 9 0＜x＜2

，解得x的范围是（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．