Question

求数列1，3x，5x2，…，（2n-1）xn-1前n项的和

求数列1，3x，5x2，…，（2n-1）xn-1前n项的和．

Answer 1

数列的前n项和设s_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1①
（1）当x=0时，s_n=1；
（2）当x=1时，s_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（3）当x≠1，x≠0时，给等式两边都乘以x得：x?s_n=x+3x²+5x³+…+（2n-3）x^n-1+（2n-1）xⁿ②
得：①-②得：（1-x）s_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ=1-（2n-1）xⁿ+2（x+x²+x³+…+x^n-1）=1-（2n-1）xⁿ+

2x(1?xn?1)

1?x

则s_n=

1?(2n?1)xn+ 2x(1?xn?1) 1?x

1?x

．
综上当x=0时，s_n=1；当x=1时，s_n=n²；当x≠1时，s_n=

1?(2n?1)xn+ 2x(1?xn?1) 1?x

1?x

．