Question

定义在R+上的函数f（x），对任意的m，n∈R+，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＞0①求f

定义在R+上的函数f（x），对任意的m，n∈R+，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＞0①求f（1）；②证明f（x）在R+上的增函数；③当f（x）=12，解不等式f（x2-3x）＞1．

Answer 1

①解：∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），
满足f（m?n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0；
②证明：设0＜x₁＜x₂，∵f（m?n）=f（m）+f（n）即f（m?n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

?x1）-f（x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，而当x＞1时，f（x）＞0，从而f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
③解：∵f（4）=f（2）+f（2）=1，∴f（x²-3x）＞f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴x²-3x＞4，
解得x＜-1或x＞4，
故所求不等式的解集为{x|x＜-1或x＞4}．