已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).(Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围
已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).(Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒...
已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).(Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.
展开
1个回答
展开全部
(I)当a=1时,f(x)=ex+x-1,f(1)=e,f'(x)=ex+1,f'(1)=e+1,
函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1),即y=(e+1)x-1,
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B,
∴A(
,0),B(0,-1),
∴S△OAB=
×
×1=
,
∴过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
.
(II)由f(x)≥x2得a≥
,
令h(x)=
=
+x?
,h′(x)=1?
?
=
,
令k(x)=x+1-ex…(6分)k'(x)=1-ex,
∵x∈(0,1),∴k'(x)<0,
∴k(x)在(0,1)上是减函数,∴k(x)<k(0)=0.
因为x-1<0,x2>0,所以h′(x)=
>0,
∴h(x)在(0,1)上是增函数.
所以h(x)<h(1)=2-e,所以a≥2-e…(12分)
函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1),即y=(e+1)x-1,
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B,
∴A(
1 |
e+1 |
∴S△OAB=
1 |
2 |
1 |
e+1 |
1 |
2(e+1) |
∴过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
1 |
2(e+1) |
(II)由f(x)≥x2得a≥
1+x2?ex |
x |
令h(x)=
1+x2?ex |
x |
1 |
x |
ex |
x |
1 |
x2 |
ex(x?1) |
x2 |
(x?1)(x+1?ex) |
x2 |
令k(x)=x+1-ex…(6分)k'(x)=1-ex,
∵x∈(0,1),∴k'(x)<0,
∴k(x)在(0,1)上是减函数,∴k(x)<k(0)=0.
因为x-1<0,x2>0,所以h′(x)=
(x?1)(x+1?ex) |
x2 |
∴h(x)在(0,1)上是增函数.
所以h(x)<h(1)=2-e,所以a≥2-e…(12分)
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询