Question

已知实数a＞0，函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最小值；（Ⅱ

已知实数a＞0，函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最小值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-a，
当a＞0时，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，得函数f（x）在（lna，+∞）上是增函数；
若x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，lna）上是减函数．
则当a＞0时，函数f （x） 的单调递增区间是（lna，+∞），单调递减区间是（-∞，lna）． 
即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
最小值为f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
等价为f（x）_min≥0，
由（Ⅰ）知，f（x）_min=a-alna-1，
设g（a）=a-alna-1，
则g′（a）=1-lna-1=-lna，
由g′（a）=0得a=1，
由g′（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．