Question

（2010?河北区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱CC1的中点，Q是棱A1D1的中点，R是棱C

（2010?河北区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱CC1的中点，Q是棱A1D1的中点，R是棱CD的中点，C1Q与B1D1交于点E．（Ⅰ）求证：C1Q∥面APD1；（Ⅱ）求证：B1R⊥面APD1；（Ⅲ）求三棱锥E-APD1的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AD₁的中点F，连接FQ，FP，则FQ平行且等于

1

2

A1A，平行且等于C₁P，
∴PC₁QF是平行四边形，
∴C₁Q∥PF，
∵C₁Q?面APD₁，PF?面APD₁，
∴C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）证明：连接A₁D，C₁R，则
由正方体的性质可知，B₁R在面AA₁D₁D中的射影为A₁D，B₁R在面CC₁D₁D中的射影为C₁R
∵A₁D⊥AD₁，C₁R⊥D₁P
∴B₁R⊥AD₁，B₁R⊥D₁P，
∵AD₁∩D₁P=D₁，
∴B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知C₁Q∥面APD₁，
∴点E到平面APD₁的距离等于C₁到平面APD₁的距离，
∴VE?APD1=VC1?APD1=VA?PC1D1=

1

3

S△PC1D1?AD=

1

12

．