Question

如图，⊙O的直径AB=6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD=m∠ACD，当 =7+4 时，是否存

如图，⊙O的直径AB=6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD=m∠ACD，当 =7+4 时，是否存在m正实数，使弦CD最短？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：连结OD，设存在正实数m，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。 ∴CP⊥AB于P， ∵ =7+ ，设AP=k，则BP=7+ ，又AB=6 ∴（7+ +1）k=6， 解得k= ∴OP=OA-AP=3- = 在Rt△POD中，cos∠POD= ， ∴∠POD=30°，∠ACD=15° ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∴∠BCD=90°-15°=75° ∵∠BCD=m∠ACD ∴m=5，即存在正实数，使CD弦最短。