Question

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点P，且BD=CE．（1）求证：AB=AC；（2）若

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点P，且BD=CE．（1）求证：AB=AC；（2）若连接AP并延长，请问AP与BC有什么样的关系？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
在Rt△DBC和Rt△ECB中，

BD＝CE BC＝BC

，
∴Rt△DBC≌Rt△ECB（HL），
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC；

（2）AP垂直平分BC．
证明：如图，连接AP并延长与BC交于点F，
∵△BCD≌△CBE，
∴∠CBD=∠BCE，∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC，BP=CP，
∴AP垂直平分BC（到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上）．