Question

（2014?海淀区模拟）如图1，在光滑水平面上有一个静止的质量为M的木块，一颗质量为m的子弹以初速v0水平射

（2014?海淀区模拟）如图1，在光滑水平面上有一个静止的质量为M的木块，一颗质量为m的子弹以初速v0水平射入木块，已知子弹在木块中运动时阻力恒定为f，子弹未穿出．（1）由以上模型，假设好字母（数据），利用牛顿第二定律推导证明：子弹和木块组成的系统，在碰撞前后满足动量守恒定律；（2）若子弹陷入木块的最大深度为d，在冲击过程中木块的运动位移为s．试证明系统总共发热量Q=f?d；（3）如图2，两块质量均为M=0.6kg千克的木块A、B并排放置在光滑的水平桌面上，一颗质量为m=0.1kg的子弹C以v0=40m/s的水平速度射入A后进入B，最终和B一起运动，测得AB在平整地面上的落点至桌边缘的水平距离之比为1：2，求C在A 中运动时系统动能损失与C在B中运动时系统动能损失之比△E1：△E2．

Answer 1

（1）子弹未穿出木块，则最终子弹与木块速度相等，设为v，设子弹与木块的作用时间为t，
由牛顿第二定律得：对子弹：a₁=

f

m

  ①，对木块：a₂=

f

M

  ②，
由匀变速运动的速度公式得：
对子弹：v=v₀-a₁t ③，对木块：v=a₂t，则：t=

v

a2

  ④，
把①②④代入③整理得：mv₀=Mv+mv，
则在碰撞前后动量守恒．
（2）子弹未穿出木块，则最终子弹与木块速度相等，设为v，
由动能定理得：
对子弹：-f（d+s）=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ⑤
对木块：：fs=

1

2

Mv²-0   ⑥
系统损失的机械能转化为热量，由能量守恒定律得：
Q=

1

2

mv₀²-

1

2

mv²-

1

2

Mv² ⑦
把⑤⑥代入⑦，整理得：Q=f?d．
（3）以子弹、A、B组成的系统为研究对象，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=mv+（M+M）v_A ⑧
以子弹与B组成的系统为研究对象，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv+Mv_A=（m+M）v_B ⑨
A、B离开桌面后做平抛运动，
在竖直方向：h=

1

2

gt²，
在水平方向：x_A=v_At，x_B=v_Bt，
由题意知：x_A：x_B=1：2，
解得：v_A：v_B=1：2  ⑩，
C在A中运动时系统动能损失：△E₁=

1

2

mv₀²-

1

2

mv²-

1

2

（M+M）v_A² （11）
C在B中运动时系统动能损失：△E₂=

1

2

mv²+

1

2

Mv_A²-

1

2

（m+M）v_B²  （12）
已知：v₀=40m/s，M=0.6kg，m=0.1kg，
由⑧⑨⑩（11）（12）解得：△E₁：△E₂=162：21；
答：（1）证明过程如上所述；
（2）证明过程如上所述；
（3）C在A中运动时系统动能损失与C在B中运动时系统动能损失之比△E₁：△E₂=162：21．