Question

已知函数f（x）=mx2-mx-1．（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1，3]

已知函数f（x）=mx2-mx-1．（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=-1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则

m＜0 △＝m2+4m＜0

解得-4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（-4，0]----------------（4分）
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6，x∈[1，3]------------------------------（6分）
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜

6

7

．
所以0＜m＜

6

7

当m=0时，-6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）_min=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，m＜

6

7

-----------------------------------------------------------（12分）